第4回 2019/7/5

生化学反応（高次反応）

※ 様々な反応系を数式に落とし込むために、色々な高次反応とそれに対応する微分方程式の立て方を、『岩波教科書現代生物科学入門第８巻「システムバイオロジー」第４章生命現象の動的特性付録A～E pdfファイル』を通して学んだ。

A-1)高次反応とHill式

以下のように、 $n$ 個の分子が同時に別の分子に結合する $n$ 次反応を考える。

$nA + B \xrightleftharpoons[k_b]{k_f}A^nB\qquad (\mathrm{A.}1)$

ただし、この時総和保存が成り立つと考え、簡単のためにここでは

$[B] + [A^nB] = 1\qquad (\mathrm{A.}2)$

が成り立つものとする。この時、複合体 $A^nB$ の生成速度 $\frac{d[A^nB]}{dt}$ は以下の微分方程式で与えられる。

$\begin{aligned} \frac{d\left[\mathrm{A}^{\mathrm{n}} \mathrm{B}\right]}{d t} &=-k_{b}\left[\mathrm{A}^{\mathrm{n}} \mathrm{B}\right]+k_{f}[\mathrm{A}]^{\mathrm{n}}[\mathrm{B}] & (\mathrm{A.}3)\\ &= =-k_{b}\left[\mathrm{A}^{\mathrm{n}} \mathrm{B}\right]+k_{f}[\mathrm{A}]^{\mathrm{n}}\left(1-\left[\mathrm{A}^{\mathrm{n}} \mathrm{B}\right]\right) & (\mathrm{A.}5) \end{aligned}$

ここで、平衡状態では $\frac{d[A^nB]}{dt} = 0$ が成り立つので、式 $(\mathrm{A.}5)$ にこれを代入し、 $K=\frac{k_b}{k_f}$ として $[A^nB]$ について整理すると、

$[A^nB] = \frac{[A]^n}{Kd + [A]^n}\qquad (\mathrm{A.}6)$

が得られ、これをHill式と呼ぶ。

A-1)高次反応とAdalr式

Hill式では、 $n$ 個の分子が同時に結合するモデルを考えたが、Adalr式では以下のように、 $n$ 次反応が段階的に進むモデルを考える。

$\begin{aligned} \begin{cases} S + P_0 &\xrightleftharpoons[K_{b_1}]{K_{f_1}}P_1 &K_1=\frac{K_{f_1}}{K_{b_1}}\\ &\vdots &\vdots\\ S + P_{j-1} &\xrightleftharpoons[K_{b_j}]{K_{f_j}}P_j &K_j=\frac{K_{f_j}}{K_{b_j}}\\ &\vdots &\vdots\\ S + P_{n-1} &\xrightleftharpoons[K_{b_n}]{K_{f_n}}P_n &K_n=\frac{K_{f_n}}{K_{b_n}}\\ \end{cases}\qquad (\mathrm{A.}7) \end{aligned}$

$K_j$ は、先ほど考えた $K$ （解離定数）の逆数であることに注意
$S$ の総量は一定
$P$ に対する $S$ の平均結合次数 $r$ は以下で表される（ $0<r<n$ ）
$r = \frac{\text{Pに結合したSの濃度}}{\text{全Pの濃度}} = \frac{1[P_1] + 2[P_2] + \cdots + n[P_n]}{[P_0] + [P_1] + \cdots + [P_n]}$

ここで、 $(\mathrm{A.}7)$ のそれぞれの反応を微分方程式で表すと、

$\begin{aligned} \begin{cases} \frac{d[P_0]}{dt} &=-K_{f_1}[S][P_0] + K_{b_1}[P_1]\\ &\vdots\\ \frac{d[P_{j-1}]}{dt} &=-K_{f_j}[S][P_{j-1}] + K_{b_j}[P_j] + K_{f_{j-1}}[S][P_{j-2}] - K_{b_{j-1}}[P_{j-1}]\\ \end{cases}\qquad (\mathrm{A.}9) \end{aligned}$

となるが、平衡状態では $\frac{d[P_0]}{dt},\ldots,\frac{d[P_{n-1}]}{dt} = 0$ なので、 $(\mathrm{A}.9)$ を漸化式として解くと、

$\begin{aligned} \frac{K_{f_j}}{K_{b_j}} = \frac{[P_j]}{[S][P_{j-1}]} = K_j & \qquad (\mathrm{A.}10)\\ [P_j] = K_j[S][P_{j-1}] & \qquad (\mathrm{A.}11) \end{aligned}$

ゆえに、

$\begin{aligned} &j=1\text{のとき} & [P_1] &= K_1[S][P_0]\\ &j=2\text{のとき} & [P_2] &= K_2[S][P_1]\\ & & &= K_2[S]K_1[S][P_0]\\ & & &= K_1K_2[S]^2[P_0]\\ &j=3\text{のとき} & [P_3] &= K_3[S][P_2]\\ & & &= K_3[S]K_1K_2[S]^2[P_0]\\ & & &= K_1K_2K_3[S]^3[P_0]\\ &\vdots & &\vdots\\ &j=n\text{のとき} & [P_n] &= [S]^n[P_0]\prod_{i=1}^nK_i & (\mathrm{A.}12) \end{aligned}$

したがって、 $(\mathrm{A.}12)$ を $(\mathrm{A.}8)$ に代入して、

$\begin{aligned} r &=\frac{K_{1}[S]\left[P_{0}\right]+2 K_{1} K_{2}[S]^{2}\left[P_{0}\right]+\cdots+n K_{1} K_{2} \cdots K_{n}[S]^{n}\left[P_{0}\right]}{\left[P_{0}\right]+K_{1}[S]\left[P_{0}\right]+K_{1} K_{2}[S]^{2}\left[P_{0}\right]+\cdots+K_{1} K_{2} \cdots K_{n}[S]^{n}\left[P_{0}\right]} \\ &=\frac{K_{1}[S]+2 K_{1} K_{2}[S]^{2}+\cdots+n K_{1} K_{2} \cdots K_{n}[S]^{n}}{1+K_{1}[S]+K_{1} K_{2}[S]^{2}+\cdots+K_{1} K_{2} \cdots K_{n}[S]^{n}}\qquad (\mathrm{A.}13) \end{aligned}$

が得られ、これをAdair式と呼ぶ。

ここで、 $S\rightarrow\infty$ とすると、

$r \rightarrow \frac{n K_{1} K_{2} \cdots K_{n}}{K_{1} K_{2} \cdots K_{n}}=n\qquad (\mathrm{A.}14)$

※ 定性的には、 $r$ は $P$ に存在している $n$ 個の結合サイトのうち、 $S$ が結合している結合サイトの平均値のことを示している。したがって、 $[S]\rightarrow\infty$ とした式 $(\mathrm{A.}14)$ では、 $P$ の結合サイト全てに $S$ が結合していることを意味する。

また、リガンドの $S$ の $P$ に対する結合飽和度は $Y_s=\frac{r}{n}$ で得られ、 $[S]\rightarrow\infty$ のとき、 $Y_s=1$

システム生物学第4回

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