解答
1
$$A = O\Lambda O^T\Longleftrightarrow O^TAO = \Lambda$$
ここで、\(O=\left(\mathbf{u}_1,\cdots\mathbf{u}_m\right)\) と分解できるので、\(O\) の第 \(k\) 列ベクトル \(\mathbf{u}_k\) に注目すると、
$$\lambda_k = \mathbf{u}_k^TA\mathbf{u}_k > 0\quad\left(\because\text{positive definite}\right)$$
2
\(k\) 成分のみゼロではない次のベクトルを考える。
$$\mathbf{e}_k = \left(\begin{array}{ccc}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{array}\right)$$
すると、
$$A_{kk} = \mathbf{e}_k^TA\mathbf{e}_k > 0\quad\left(\because\text{positive definite}\right)$$
3
\(k,l\) 成分のみゼロではないベクトル \(\mathbf{v}\) を考える。ここで、
$$v_k = x,v_l=y \qquad \forall x,y\in\mathbb{R},x.y\neq0$$
とする。すると、
$$\begin{aligned}
\mathbf{v}^TA\mathbf{v}
&= x^2A_{kk} + xyA_{kl} + yxA_{lk} + y^2A_{ll}\\
&= \left(\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right)^T\left(\begin{array}{ccc}A_{kk} & A_{kl}\\A_{lk} & A_{ll}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right) > 0
\end{aligned}$$
したがって、行列
$$A^{(kl)} = \left(\begin{array}{ccc}A_{kk} & A_{kl}\\A_{lk} & A_{ll}\end{array}\right)$$
は正定値行列であることがわかる。ゆえに、\((1)\) より、行列 \(A^{(kl)}\) の固有値（\(\lambda^{(kl)}_1,\lambda^{(kl)}_2\)）は全て非負。
一方、行列式は固有値の積でかけるので、以下の関係が成り立つ。
$$\left|A^{(kl)}\right| = A_{kk}A_{ll} - A_{kl}A_{lk} = \lambda^{(kl)}_1\lambda^{(kl)}_2 > 0$$
また、\(A^T=A\) より \(A_{kl} = A_{lk}\) なので、上より、
$$A_{kk}A_{ll} - A_{kl}^2 > 0\Longleftrightarrow\sqrt{A_{kk}A_{ll}} > \left|A_{kl}\right|$$