Ex.7 Positive Definite Symmetric Matrix

解答

1

$A = O\Lambda O^T\Longleftrightarrow O^TAO = \Lambda$

ここで、 $O=\left(\mathbf{u}_1,\cdots\mathbf{u}_m\right)$ と分解できるので、 $O$ の第 $k$ 列ベクトル $\mathbf{u}_k$ に注目すると、

$\lambda_k = \mathbf{u}_k^TA\mathbf{u}_k > 0\quad\left(\because\text{positive definite}\right)$

2

$k$ 成分のみゼロではない次のベクトルを考える。

$\mathbf{e}_k = \left(\begin{array}{ccc}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{array}\right)$

すると、

$A_{kk} = \mathbf{e}_k^TA\mathbf{e}_k > 0\quad\left(\because\text{positive definite}\right)$

3

$k,l$ 成分のみゼロではないベクトル $\mathbf{v}$ を考える。ここで、

$v_k = x,v_l=y \qquad \forall x,y\in\mathbb{R},x.y\neq0$

とする。すると、

$\begin{aligned} \mathbf{v}^TA\mathbf{v} &= x^2A_{kk} + xyA_{kl} + yxA_{lk} + y^2A_{ll}\\ &= \left(\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right)^T\left(\begin{array}{ccc}A_{kk} & A_{kl}\\A_{lk} & A_{ll}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right) > 0 \end{aligned}$

したがって、行列

$A^{(kl)} = \left(\begin{array}{ccc}A_{kk} & A_{kl}\\A_{lk} & A_{ll}\end{array}\right)$

は正定値行列であることがわかる。ゆえに、 $(1)$ より、行列 $A^{(kl)}$ の固有値（ $\lambda^{(kl)}_1,\lambda^{(kl)}_2$ ）は全て非負。

一方、行列式は固有値の積でかけるので、以下の関係が成り立つ。

$\left|A^{(kl)}\right| = A_{kk}A_{ll} - A_{kl}A_{lk} = \lambda^{(kl)}_1\lambda^{(kl)}_2 > 0$

また、 $A^T=A$ より $A_{kl} = A_{lk}$ なので、上より、

$A_{kk}A_{ll} - A_{kl}^2 > 0\Longleftrightarrow\sqrt{A_{kk}A_{ll}} > \left|A_{kl}\right|$

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